Nemo Captain

This question is asked by a friend named Keworld:

"Given a table with X rows and Y colums. Place (X.Y) numbers 0,1,2,...,(XY-1) randomly in XY cells, each cell one number.

The numbers which is located close to the 0 is called 0's neighbors (on the left side, right side, up or down).

Each step, we change the positions of 0 with one of its neighbors.

There is a question:

from any random arrangement of numbers, after a finite steps could we receive this arrangement (standard arrangement) (where the numbers increase from left to right, and up to down):

0 1 2 ... Y-1

Y Y+1 Y+2 ... 2Y-1

... ... ... ... ... ...

(X-1)Y (X-1)Y+1 (X-1)Y+2 ... (XY-1)".

You can try this illustrative program:

http://www.keworld.byethost15.com/gamegh%E2%80%A6

1 step:

I denote:

The standard arrangement = SA.

An arrangement which could be transformed to SA, is called a TA (true arrangement).

An arrangement which could not be transformed to SA, is called a FA (false ...).

I have solved some simple case:

I/ if X=1, Y>1.

0 1 2 3 ... Y-1.

There are arrangements which can't be tranformed to SA.

For examples, with Y=4: a FA:

3 2 1 0.

II/ If X=Y=2.

SA:

0 1

2 3

There are 12 TAs and 12 FAs.

For exam: a FA:

0 1

3 2.

Could you help me solve this question, or give me some clue to solve this question.

Câu hỏi này do bạn Keworld đặt ra, nội dung như sau:

Câu hỏi:

"Có một bảng gồm X cột và Y hàng.

đặt ngẫu nhiên vào mỗi ô của bảng những cố nguyên nằm trong khoảng 0 cho đến ( X.Y - 1)

từ đó, số O có thể trao đổi vị trí cho những số kề cận nó mà có chung hàng hoặc chung cột.

Kết luận: với cách trao đổi như vậy, luôn luôn có thể xếp thứ tự 0,1,2,3,4....,(X.Y-1) lần lượt từ trái sang phải từ trên xuống dưới. Đúng hay Sai ? Tại sao ?".

Bạn có thể thử chương trình minh hoạ này:

http://www.keworld.byethost15.com/gameghephinh/xep...

Question:

"Given a table with X rows and Y colums. Place (X.Y) numbers 0,1,2,...,(XY-1) randomly in XY cells, each cell one number.

The numbers which is located close to the 0 is called 0's neighbors (on the left side, right side, up or down).

Each step, we change the positions of 0 with one of its neighbors.

There is a question:

from any random arrangement of numbers, after a finite steps could we receive this arrangement (standard arrangement) (where the numbers increase from left to right, and up to down):

0 1 2 ... Y-1

Y Y+1 Y+2 ... 2Y-1

... ... ... ... ... ...

(X-1)Y (X-1)Y+1 (X-1)Y+2 ... (XY-1)".

You can try this illustrative program:

http://www.keworld.byethost15.com/gameghephinh/xep...

1 step:

I denote:

The standard arrangement = SA.

An arrangement which could be transformed to SA, is called a TA (true arrangement).

An arrangement which could not be transformed to SA, is called a FA (false ...).

I have solved some simple case:

I/ if X=1, Y>1.

0 1 2 3 ... Y-1.

There are arrangements which can't be tranformed to SA.

For examples, with Y=4: a FA:

3 2 1 0.

II/ If X=Y=2.

SA:

0 1

2 3

There are 12 TAs and 12 FAs.

For exam: a FA:

0 1

3 2.

Could you help me solve this question, or give me some clue to solve this question.

Hôm-trước, có bạn hỏi câu này, lúc ấy mình chưa nghĩ ra. Hôm-nay làm được rồi thì không thấy câu-hỏi ấy đâu nữa cả. Có-thể câu-hỏi đã bị xóa, cũng có-thể bạn nào-đó đã trả-lời rồi. Nếu bỏ-đi thì tiếc, nên mình gửi câu-trả-lời này.

Khai-triển vế-trái được:

2(ab+bc+ca) - a²-b²-c² ≤ √(abc) (√a+√b+√c)

<=> 4(ab+bc+ca) - 2a²-2b²-2c² ≤ 2√(abc) (√a+√b+√c)

<=> [ab+bc - 2√(abc).√b] + [bc+ca-2√(abc).√c] + [ca+ab-2√(abc)√a] ≤ (c²+a²-2ca) + (a²+b²-2ab) + (b²+c²-2bc)

<=> b(√a-√c)² + c(√b-√a)² + a(√c-√b)² ≤ (c-a)² + (a-b)²+(b-c)² = (√c+√a)²(√c-√a)² + (√a+√b)²(√a-√b)² + (√b+√c)²(√b+√c)². (*)

(*) đúng do:

b < √a+√c,

a < √b+√c,

c < √a+√b.

Từ-đó suy-ra đ.p.c.m.

Câu hỏi mà bạn post lên box lí:

http://vn.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=Ai...

Hình vẽ:

http://s627.photobucket.com/albums/tt353/BlackFish...

Bài toán này mình đã đọc 1 lí thuyết về nó, và mới giải quyết được 30%.

Sau đây là lời giải của mình:

Các tay quay OA, O₁B và thanh truyền AB, BC chuyển động song phẳng.

Tại vị trí khảo sát:

v(A) = v(B) = v(C).

Với v(A) = ω(0).OA = 20.20 = 400 (cm/s).

Suy ra:

v(B) = v(C) = 400 (cm/s). Khác với kết quả của bạn cho.

Gia tốc góc tại điểm B thỏa mãn:

ω₁.O₁B = v(B), suy ra:

ω₁ = v(B)/O₁B .

Như vậy gia tốc theo phương pháp tuyến tại B là:

a(n,B) = ω₁².O₁B = v(B)²/O₁B.

Nếu sử dụng kết quả của bạn thì:

a(n,B) = 200²/100 = 400 (cm/s).

Gia tốc góc tại B:

ε₁ = dω₁/dt = 1/O₁B . dv(B)/dt.

v(B) thay đổi theo thời gian như thế nào thì phức tạp rồi.

Kết quả mình ra lại khác với bạn.

Có thể do mình chưa nắm vững lí thuyết, cũng thể do số liệu ban đầu nhầm.

Bạn có thể trao đổi với mình và cho mình tài liệu mà bạn đang học không (dạng điện tử).

Cho u(n) là chữ số đầu tiên của 13ⁿ,

(ví dụ với n=1, u(1) = 1, n=2, 13²=169, u(2) = 1)

cmr: dãy u(n) không tuần hoàn.

Các bạn xem hộ mình bài này mình còn làm sai chỗ nào nữa:

http://vn.answers.yahoo.com/question/index?qid=201...

Mình mới học lí, nên có nhiều sai sót, mong mọi người chỉ bảo.

With k, n - positive integers.

I've found this! It's such a very interesting problem! Right?

With a,b,c - lengths of 3 edges of the triangle.

Các bạn xem thêm chi tiết câu hỏi:

http://vn.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=As...

Câu hỏi này mình trả lời cho bạn chưa đầy đủ:

http://vn.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=As...

Mình vừa tìm ra lời giải thì bạn đã đóng câu hỏi rồi. Vì thế mình gửi lời giải đầy đủ cho bạn:

Cho x,y,z không âm t/m: x+y+z = xy+yz+zx, cmr:

F(x,y,z) = 1/(x²+y+1) + 1/(y²+z+1) + 1/(z²+x+1) ≤ 1. (*)

--------------------------------------…

Quy đồng mẫu số, (*) tương đương:

P = (y²+z+1)(z²+x+1) + (x²+y+1)(y²+z+1) + (x²+y+z)(z²+y+1) ≤ Q = (x²+y+1)(y²+z+1)(z²+y+1).

Với

(y²+z+1)(z²+x+1) = y²z² + y²x + y²+z²+zx+z^3+x+z+1

từ đó suy ra:

P = (x²y²+y²z²+z²x²) + (y²x+x²z+z²y) + (x³+y³+z³)+ 2(x²+y²+z²) + (xy+yz+zx) + 2(x+y+z) + 3.

Khai triên Q ra thì đươcj:

Q = x²y²z² + xyz + (x³y²+y³z²+z³x²) + (yz³+zx³+xy³) + (x²y²+y²z²+z²x²) + (y²x+x²z+z²y)+ (x³+y³+z³) + (x²+y²+z²) + (xy+yz+zx) + (x+y+z) + 1

Suy ra:

(x²y²+y²z²+z²x²) + (y²x+x²z+z²y) + (x³+y³+z³)+ 2(x²+y²+z²) + (xy+yz+zx) + 2(x+y+z) + 3 ≤ x²y²z² + xyz + (x³y²+y³z²+z³x²) + (yz³+zx³+xy³) + (x²y²+y²z²+z²x²) + (y²x+x²z+z²y)+ (x³+y³+z³) + (x²+y²+z²) + (xy+yz+zx) + (x+y+z) + 1.

Rút gọn thì được:

(x²+y²+z²) + (x+y+z) + 2 ≤ x²y²z² + xyz + (x³y²+y³z²+z³x²) + (yz³+zx³+xy³) . (1)

Để cm (*), ta chỉ cần cm (1).

--------------------------------------…

Trường hợp 1: xyz ≤ 1.

Áp dụng bđt Cosi thì được:

x²y²z² + xyz + (x³y²+y³z²+z³x²) + (yz³+zx³+xy³)

= x²y²z² + xyz + (x³y²+xy³+x²y) + (y³z²+yz³+ y²z) + (z³x² + zx³+z²x) - (x²y+y²z+z²x)

≥ x²y²z² + xyz + 3.(x²y²+y²z²+z²x²) - (x²y+y²z+z²x)

= 1/2 . [2x²y²z² + 2xyz + 5(x²y²+y²z²+z²x²) + (x²y²+x²) + (y²z²+y²) + (z²x²+z²)- 2(x²y+y²z+z²x) - (x²+y²+z²)]

≥ 1/2 . [2x²y²z² + 2xyz + 5(x²y²+y²z²+z²x²) - (x²+y²+z²)]

Do đó để cm (1), ta cần cm:

(x²+y²+z²) + (x+y+z) + 2 ≤ 1/2 . [2x²y²z² + 2xyz + 5(x²y²+y²z²+z²x²) - (x²+y²+z²)].

<=> 2(x²+y²+z²) + 2(x+y+z) + 4 ≤ 2x²y²z² + 2xyz + 5(x²y²+y²z²+z²x²) - (x²+y²+z²).

<=> 3(x²+y²+z²) + 2(x+y+z) + 4 ≤ 2x²y��z² + 2xyz + 5(x²y²+y²z²+z²x²). (2)

Nếu đặt A=x+y+z=xy+yz+zx, B=xyz thì:

x²+y²+z² = A²-2A.

x²y²+y²z²+z²x² = A²-2AB.

Do đó (2) tương đương:

3(A²-2A) + 2A + 4 ≤ 2B² + 2B + 5(A²-2AB)

<=> 0 ≤ 2A² - (10B-4)A + 2B² + 2B - 4.

<=> 0 ≤ 2A² - 2(5B-2)A + 2B² + 2B - 4. (3)

Coi (3) là pt bậc hai ẩn A tham số là B ta có:

Delta' = (5B-2)² - 2(2B²+2B-4) = 21B² - 24B + 12 > 0 với mọi B.

Ta cm:

3 ≥ [(5B-2) + √(Delta')]/2

<=> 8-5B ≥ √(Delta')

<=> 64 - 80B + 25B² ≥ 21B²-24B+12

<=> 52 - 56B + 4B² ≥ 0

<=> 13 - 14B + B² ≥ 0

<=> (13-B)(1-B) ≥ 0. (đúng).

Mặt khác,

A = x+y+z = xy+yz+zx ≤ (x+y+z)²/3 = A²/3

<=> 3 ≤ A.

Do vậy:

A >= [(5B-2) + √(Delta')]/2 là nghiệm lớn nhất của (3), từ đó suy ra (3) đúng suy ra (1).

------------------------------------

Như vậy trong trường hợp xyz ≤ 1 thì (1) đúng.

Ta cm rằng (1) cũng đúng với trường hợp xyz>1.

Dễ thẫy rằng 1/x, 1/y, 1/z cũng t/m: 1/x+1/y+1/z = 1/xy+1/yz+1/zx, và đồng thời 1/x.1/y.1/z < 1, do đó 1/x,1/y,1/z sẽ t/m bất đẳng thức (1), khi ta thay x bởi 1/x, y bởi 1/y, z bởi 1/z:

[(1/x)²+(1/y)²+(1/z)²] + [1/x+1/y+1/z] + 2 ≤ (1/x)²(1/y)²(1/z)² + 1/(xyz) + [(1/x)³(1/y)²+(1/y)³(1/z)²+(1/z)³(1/x)²] + [(1/y)(1/z)³+(1/z)(1/x)³+(1/x)(1/y)³]

<=> (x²y²+y²z²+z²x��)/(x²y²z²) + (xy+yz+zx)/(xyz) + 2 ≤ 1/(x²y²z²) + 1/(xyz) + (yz³+zx³+xy³) / (x³y³z³) + (x³y²+y³z²+z³x²) / (x³y³z³)

<=> (x²y²+y²z²+z²x²)(xyz) + (xy+yz+zx)(x²y²z²) + 2(x³y³z³) ≤ (xyz) + (x²y²z²) + (yz³+zx³+xy³) + (x³y²+y³z²+z³x²) (nhân cả hai vế với (x³y³z³))

<=> (x²y²+y²z²+z²x²)(xyz) + (x+y+z)(x²y²z²) + 2(x³y³z³) ≤ (xyz) + (x²y²z²) + (yz³+zx³+xy³) + (x³y²+y³z²+z³x²)

Thay x²y²+y²z²+z²x² = (xy+yz+zx)² - 2xyz(x+y+z) = (x+y+z)² - 2xyz(x+y+z) = (x²+y²+z²) + 2(x+y+z) - 2xyz(x+y+z) = (x²+y²+z²) + (x+y+z)(2-2xyz), ta được:

[(x²+y²+z²) + (x+y+z)(2-2xyz)] (xyz) + (x+y+z)(x²y²z²) + 2(x³y³z³) ≤ (xyz) + (x²y²z²) + (yz³+zx³+xy³) + (x³y²+y³z²+z³x²)

<=> [(x²+y²+z²) + (x+y+z) + 2] (xyz) + (x+y+z)(1-2xyz) (xyz) - 2xyz + (x+y+z)(x²y²z²) + 2(x³y³z³) ≤ (xyz) + (x²y²z²) + (yz³+zx³+xy³) + (x³y²+y³z²+z³x²)

<=> [(x²+y²+z²) + (x+y+z) + 2] (xyz) + (x+y+z) (xyz-2x²y²z²) - 2xyz + (x+y+z)(x²y²z²) + 2(x³y³z³) ≤ (xyz) + (x²y²z²) + (yz³+zx³+xy³) + (x³y²+y³z²+z³x²)

<=> [(x²+y²+z²) + (x+y+z) + 2] (xyz) + (x+y+z) (xyz-x²y²z²) - 2xyz + 2(x³y³z³) ≤ (xyz) + (x²y²z²) + (yz³+zx³+xy³) + (x³y²+y³z²+z³x²)

<=> [(x²+y²+z²) + (x+y+z) + 2] (xyz) ≤ 2(xyz) + (x+y+z)(x²y²z²-xyz) - 2(x³y³z³) + {xyz+ (x²y²z²) + (yz³+zx³+xy³) + (x³y²+y³z²+z³x²)}

<=> [(x²+y²+z²) + (x+y+z) + 2] (xyz) ≤ (xyz) . {2 + (x+y+z)(xyz-1) - 2(x²y²z²)} + {xyz+ (x²y²z²) + (yz³+zx³+xy³) + (x³y²+y³z²+z³x²)}

<=> [(x²+y²+z²) + (x+y+z) + 2] (xyz) ≤ (xyz) .(xyz-1) [ (x+y+z) - 2 - 2xyz] + {xyz+ (x²y²z²) + (yz³+zx³+xy³) + (x³y²+y³z²+z³x²)}

Với xyz -1 >0, do đó nếu (x+y+z) - 2 - 2xyz ≤ 0 thì suy ra:

[(x²+y²+z²) + (x+y+z) + 2] (xyz) ≤ {xyz+ (x²y²z²) + (yz³+zx³+xy³) + (x³y²+y³z²+z³x²)}

mà xyz>1 nên (x²+y²+z²) + (x+y+z) + 2 < [(x²+y²+z²) + (x+y+z) + 2] (xyz), suy ra (1) đúng.

Còn nếu (x+y+z) - 2 - 2xyz > 0. Giả sử ngược l