10 pontos p/ quem resolver mostrando os passos?

este 'e o problema de matematica mais elegante que conheco :

- dado R pede-se L

o enunciado 'e de uma simplicidde incrivel e a solucao 'e de uma complexidade sem tamanho.

requer a aplicacao de calculo integral (materia de faculdade de fisica, matematica ou engenharia)

vamos ao que interessa : vou conduzir a sol no formato algebrico

dado R = raio do pasto (no caso 15m)

L=comprimento da corda que amarra mimosa, vamos fazer L = R + d e buscar d ( o tamanho que a corda excede o raio do pasto)

se esta deve comer metade da grama , obvio que ela deve comer um semi-circulo

caso a corda tenha L = 15m, so pelo desenho, a gente vai poder ver que a area sob a corda nao cobre TODO um semi-circulo.

a area que mimosa come nao e elipse, e uma intersecao de dois circulos de raios R e R+d

peguem papel e lapis e vamos la:

1-desenhe um sistema de coordenadas cartesianas : eixo x e eixo y, cruzando no ponto O (0,0)

2-com centro em O , desenhe uma circunferencia de raio R

3-este circulo:

3.1-corta o semi-eixo positivo de x no ponto A (R,0)

3.2-corta o semi-eixo positivo de y no ponto B (0,R)

4-com centro em A (poste onde mimosa vai estar amarrada), desenhe uma circunferencia de raio L= R + d

5-este novo circulo :

5.1-corta o eixo x em dois pontos. vamos chamar o ponto a esquerda de O como sendo C (-d,0)

5.2-corta o semi-eixo positivo de y no ponto D

5.3-corta o circulo desenhado no item 2, no ponto E (situado no primeiro quadrante)

5.4-na projecao de E sobre x, temos F

6-para que mimosa coma a metade da grama e preciso que a area do triangulo ODC = area do DBE pois :

DBE = area do semi-circulo que ela nao come

ODC = area que mimosa come ALEM do semi-circulo

7-basta , poe basta nisto, calcular a area destes dois triangulos

8-a complexidade esta em :

8.1-ODC=area de um setor circular de raio R+d, delimitado pelos eixos x e y, x variando de -d a 0

8.2- area BDE = OBEF - ODEF

a-OBEF = area sob circunferencia de raio R , x variando de 0 a F(ainda desconhecido)

b-ODEF = idem de raio R+d , com centro em A (R,0)

9-resolvendo esta confusao toda temos que , para R=1,

(1-2d-d2) acos(( (1+d)/2) + 1/2 ( 3 + 4d - 2d2 - 4d3 - d4)^ (1/2) - pi/2 = 0

d2 = d elevado ao quadrado

acos (z) = arco cujo cosseno vale z

d4= d elevado a quarta potencia

(m)^ (1/2) = raiz quadrada de m

pi = 3,14159 26535 89793

'e uma simples equacao de uma unica variavel , chamada eq transcendente, que , tambem, nao tem sol facil.

para se achar uma sol numerica, temos que usar uma ferramenta de ramo da matematica, conhecida como calculo numerico, chamada interacao de newton-raphson

por esta interacao temos que d= 0,1587284715 (para R=1)

ou seja amarre a mimosa com corda de 17,380927 m , aproximadamente

a sol, mais completa, esta no site abaixo onde tem ate uma rotina em excell para resolver esta eq

a vaca so pode andar metade da area do pasto.

area total do pasto é: 706,5 m2

area q a vaca pode andar = 353,25 m2

como a corda irá se estender circularmente pelo pasto, ela formará um setor circular q será delimitado pela cerca do pasto, este setor circular´é 1/3 da circunferencia q seria formada pela corda toda........a circunferencia deve entao ter area de 1059,75 m2, que dividos por 3 dá 353,25 m2, que é o q a vaca pode andar.................um circulo de 1059,75 m2 tem raio de aproximadamente:18,371 m que é o tamanho q a corda da vaquinha deve ter

Bem...

Se a corda tiver 15 metros (metade do diâmetro), a mimosa poderá caminhar por um pouco menos que a metade da área.

A Área da Mimosa seria um Elipse, que deve equivaler à metade da Área Total.

Área da Elipse = pi x (eixo maior) x (eixo menor)

eixo maior = seria metade de um segmento horizontal imaginário que divide a elipse ao meio.

eixo menor = metade de um segmento vertical que divide a elipse ao meio. Esse segmento representa a corda que queremos saber.

Área da Elipse = (Área Total) / 2

pi x (eixo maior) x (eixo menor) = pi x (raio)² / 2

(eixo menor) = (raio)² / 2 x (eixo maior)

Corda = 2 x (eixo menor)

Corda = 2 x [ (raio)² / 2 x (eixo maior) ]

Corda = (raio)² / (eixo maior)

É necessário conhecer o valor de "eixo maior" para resolver a questão. Uma forma de se encontrar esse valor, seria calculando a Área do Segmento Circular, pois o "eixo maior" define um Segmento Circular da Circunferência da Área Total.

Mas é necessário saber o valor do Arco de Circunferência.

Segmento = [Arco x raio - (raio - flecha) x eixo maior] / 2

flecha = equivale ao ''eixo menor'' da elipse.

Seria muito fácil se fosse somente dividir por dois. O problema é complicado e, pelo que vi, não parece ter uma solução "braçal". Alguns problemas são assim. Um exemplo é a equação de Kepler, usada na astronomia, que é resolvida por métodos numéricos.

O comprimento da corda, evidentemente, vai ser maior do que 15 metros. Pesquisei soluções em livros e na Internet, mas encontrei diferenças (respostas variando entre 17,38 e 17,49).

.

15 metros e 49 cm

O comprimento da corda deverá ser de 7,5 m...

Se o cercado tem 30 de diametro, o raio será de 15.

Com um raio de 15 num cercado circular a mimosa terá acesso aos 30 de diametro, logo, a corda deverá ter apenas 7,5m de cumprimento para que ela tenha acesso a um diametro de apenas 15 metros.

"A minha resposta seria 7,5m. Pois a aréa do pasto seria A=2.r.3,14 (2x15x3,14= 94,2m. So que vc so quer a metade do pasto, por isso que eu acho que seria 7,5m.

Estica o prazo da tua pergunta porque eu vou pensar e responder certinho.... Só adianto uma coisa, amarrado à CERCA com 15 m de comprimento, como todos estão dizendo, ela vai comer menos da metade. Aguarda aí... Volto com a resposta...

A corda para sua querida mimosa terá que ser de 15 metros. Se o diâmetro circular tem 30m a metade é 15m de raio.