¿Cómo obtengo...?

Ok, lo que debes hacer aqui es aplicar los criterios de la primera y segunda derivada, comenzemos :

F(x) = -x^3 + 3x^2 - 2

F'(x) = -3x^2 + 6x >>>> primera derivada

F''(x) = -6x + 6 >>>> segunda derivada

Punto de inflexion se haya cuando la segunda derivada es igual a cero.

F''(x) = 0 >>>> - 6x + 6 = 0 ; x = 1

x = 1, reemplazando en la funcion F(x)

F(1) = -1 + 3 - 2 = 0

Punto de inflexion : ( 1; 0 ) >>> donde cambia la concavidad.

Para saber donde crece la grafica trabajamos con la primera derivada :

F'(x) = -3x^2 + 6x

cuando F'(x) > 0 ; La grafica crece

cuando F'(x) < 0 ; La grafica decrece

-3x^2 + 6x > 0

3x^2 - 6x < 0

3x(x-2) < 0

Punto critico : 0 y 2 >>> maximos o minimos relativos.

Como debe ser menor que "0", segun la inecuacion, la grafica crece en el intervalo : < 0 ; 2 >

Y decrece en los intervalos : < -infinito ; 0 > U < 2 ; +infinito >

Para saber los intervalos de concavidad, trabajamos con la segunda derivada :

F''(x) = -6x + 6

Para saber si : 0 ; 2 son maximos o minimos :

F''(0) = 6 >>>> minimo relativo

F''(2) = -6 >>>> maximo relativo

Cuando F''(x) > 0 ; la grafica es concava hacia arriba

-6x + 6 > 0

6x - 6 > 0

x > 1

x E [ 1 ; + infinito ] >>> concava hacia arriba

Cuando "x" sea mayor que 1 la grafica es concava hacia arriba, cuando "x" sea menor que 1 la grafica es concava hacia abajo.

Espero te sirva, nos vemos

f(x) = - x^3 + 3 x^2 - 2

f ' (x) = -3 x^2 + 6 x = 0

f ' ( x) = -3 x (x-2) = 0

Puntos críticos

x= 0

x = 2

f '' (x) = - 6x + 6

f '' (0) = 6 > 0 (Mínimo)

f '' (2) = - 6 < 0 (Máximo)

f '' ( x) = 0 --------> x = 1

f '''(1) = 0 ---------> Punto de inflexión

f´(x) > 0 Crecimiento

-3x (x - 2) > 0

x (x-2) < 0

x<0 y x > 2 (imposible)

x>0 y x < 2, o sea 0 < x < 2

En el intervalo (0, 2) la función es creciente.

En ( - inf, 0) y (0, inf) la función es decreciente

(- inf , 1) cóncava hacia arriba. (1, inf) cóncavo hacia abajo

Primero la derivas y te queda una ecuación de 2º grado que igualas a 0.

-3x^2+6x=0

Sacas las raíces:

x1 = 0

x2 = 2

Conclusión: para

x= 0 tienes un mínimo

x = 2 tienes un máximo

Concavidad: con la derivada 2ª e igualando a 0:

y" -6x+6 = 0 luego para x= 0 y'' = 6

al ser >0 es cóncava hacia arriba

y" -6x+6 = 0 luego para x= 2 y'' = -6

al ser <0 es cóncava hacia abajo

Punto de inflexión:

y'' = -6x+6 =0 luego x = -1/-1 = 1

en +1 se produce el punto de inflexión o sea cuando la derivada segunda es = 0.

decrece de (-inf, 0) y de (2;inf) y crece de (0,2)

los maximos y minimos de la funcion los obtenes con la devivada primera de la funcion y esta igualandola a 0 y despuejando x. De esto estoy seguro.

Los intervalos de crec y decrec creo que los obtenes con las derivadas segundas de la funcion. pero de esto ultimo no estoy seguro asi que te conviene chequear esta info.

Yo se que los interv de concavidad,,de crec y decrec se obtienen don devrivadas segundas y terceras. Pero no me acuerdo para que las deriv segundas y para cual las der terceras.

Espero no haberte confundido mas! saludos