Como resolver integrales ciclicas?

Hola Personal, aqui tienes un ejemplo de integral ciclica, vamos a resolver la integral paso a paso

∫e^-x * sen [ x ] dx

➊ Esta integral se resuelve por partes, utilizamos la siguiente Formula

∫u dv = u v - ∫v du

Donde:

u = e^-x...........dv = sen [x]

du = - e^-x.......v = - cos [x]

➋ Aplicamos formula

∫u dv = u v - ∫v du

∫e^-x * sen [ x ] dx = - e^-x * cos [x] - ∫ - e^-x * (- cos [x] dx )

∫e^-x * sen [ x ] dx = - e^-x * cos [x] - ∫ e^-x * cos [x] dx

➌ Volvemos a Integrar

Donde:

u = e^-x..........dv = cos [x]

du = - e^-x.......v = sen [x]

∫u dv = u v - ∫v du

∫e^-x * sen [ x ] dx = - e^-x * cos [x] – [e^-x * sen [x] - ∫ - e^-x * sen [x] dx ]

∫e^-x * sen [ x ] dx = - e^-x * cos [x] – e^-x * sen [x] - ∫ e^-x * sen [x] dx

➍ Como podrás ver hemos llegado a la Integral original en el resultado, por lo cual la integral que tienes de lado derecho de la igualdad, la tenemos que mandar de lado izquierdo de la igualdad pero con signo contrario

∫e^-x * sen [ x ] dx + ∫e^-x * sen [ x ] dx = - e^-x * cos [x] – e^-x * sen [x]

Suma la Integrales

2 ∫e^-x * sen [ x ] dx = - e^-x * cos [x] – e^-x * sen [x]

➎ El numero [2], que esta multiplicando a la Integral. Lo pasamos dividiendo de lado derecho

∫e^-x * sen [ x ] dx = - ½ e^-x * cos [x] – ½ e^-x * sen [x]

➏ Factorizamos y nos queda

∫e^-x * sen [ x ] dx = - ½ e^-x ( cos [x] + sen [x] ) + C

Espero esto aclare tu duda

Saludos

Para ese caso debes despejar la integral, de manera que las 2 integrales te quedán del mismo lado de la igualdad, despues factorizas y divides el resultado entre el factor.

Por ejemplo:

∫e^2x sen [ax] dx = (-e^2x cos [ax])/a + 2/a ∫e^2x cos[ax] dx

y 2/a ∫e^2x cos[ax] dx = 2/a [e^2x (sen [ax]/a) - ∫(sen [ax]/a) 2e^2xdx] = (2e^2x sen[ax])/a² - 4/a²∫e^2x sen[ax]dx

Entonces:

∫e^2x sen [ax] dx = (-e^2x cos [ax])/a + (2e^2x sen[ax])/a² - 4/a²∫e^2x sen[ax] dx

∫e^2x sen [ax] dx + 4/a²∫e^2x sen[ax] dx = (-e^2x cos [ax])/a + (2e^2x sen[ax])/a²

∫e^2x sen ax dx (1 + 4/a²) = (-e^2x cos [ax])/a + (2e^2x sen[ax])/a²

∫e^2x sen ax dx = [(-e^2x cos [ax])/a + (2e^2x sen[ax])/a²] /(1 + 4/a²)

Simplificando:

∫e^2x sen ax dx = [e^2x (2 sen[ax] - a cos [ax]) ] /a²+4

>:-*)

csc^3x,

Int. csc^3xdx=-cscxcotx+Ln(cscx-cotx)-Int.csc... dx.

Int. csc^3xdx + Int. csc^3xdx =-cscxcotx+Ln(cscx-cotx)

2Int. csc^3xdx = -cscxcotx+Ln(cscx-cotx). :

Resultado

1/2[-cscxcotx+Ln(cscx-cotx)]+c

Suerte

Pues por ejemplo si tenes la del tipo "e elevado a la x por seno de x" tenes que aplicar por partes una ves, despues volves a aplicar por partes a lo que esta restando y te queda como la primer integral que tenias! entonces a esa integral la pasas sumando al otro lado y ya la tenes resuelta!!!!!! porque de un lado del signo = tenes solamente la integal, y del otro lado ya tenes todo resuelto! se entiende? espero que si, es dificil explicarlo si no tenes por lo menos un editor de ecuaciones! ^_^

Mira, es verdad una de ellas es la integral de csc^3x, que en algún momento dado la respuesta es:

Int. csc^3xdx=-cscxcotx+Ln(cscx-cotx)-Int.csc^3x dx. es quí donde se repite y lo que tienes que hacer es mandarla al otro lado de la igualdad así tendrás:

Int. csc^3xdx + Int. csc^3xdx =-cscxcotx+Ln(cscx-cotx)

2Int. csc^3xdx = -cscxcotx+Ln(cscx-cotx). Y sólo pasas el 2 de la integral que se sumó como división y listo, resuelto el problema, en este caso quedaría:

1/2[-cscxcotx+Ln(cscx-cotx)]+c

Saludos

cuando vuelves a la integral inicial, tendrias:

INT(x)= algo - INT(x)

entonces nada mas haces:

2INT(x) = algo

con lo que

INT(x)= algo/2

pss ese algo es lo que te da de andar integrando por partes hasta llegar a la integral de la forma inicial