Como se calcula el minimo valor de la pendiente de una funcion en un intervalo dado?

Lo calculas así:

Como te piden el mínimo valor de la pendiente, primero hallas la derivada de esta función (ya que ésta te da el valor de todas sus pendientes), f '(x) = 5x^4 + 3x^2 - 3

Ahora tienes que hallar el minimo valor que toma f '(x) , pero teniendo en cuenta que x pertence a (-2,-1) , osea

-2 <= x <= -1

Elevando al cuadrado

4 >= x^2 >= 1 (ya que x es negativo) ...(1)

(3)4 >= 3x^2 >= (3)1

12 >= 3x^2 >= 3 ...(2)

Otra vez (1) al cuadrado

16 >= x^4 >= 1

(5)16 >= 5x^4 >= (5)1

80 >= 5x^4 >= 5 ...(3)

Sumando (2) y (3)

92 >= 5x^4 + 3x^2 >= 8

92-3 >= 5x^4 + 3x^2 - 3 >= 8-3

89 >= 5x^4 + 3x^2 - 3 >= 5

Por lo tanto

89 >= f '(x) >= 5

El mínimo valor de la pendiente de f(x) en el intervalo (-2,-1) es 5

OTRA ALTERNATIVA

Para hallar el valor sin usar desigualdades.

La derivada de f(x) es otra funcion f '(x) = 5x^4 + 3x^2 - 3 , la cual es la funcion pendientes de la curva f.

Llamemos g(x) a esta nueva funcion.

Por lo tanto, "calcular el mínimo valor de la pendiente de la funcion f en el intervalo (-2,-1)" equivale a "calcular el mínimo valor de la funcion g en el intervalo (-2,-1)"

Es decir, hay que minimizar g(x) = 5x^4 + 3x^2 - 3 en (-2,-1)

Y este es un tipo de problema visto muchas veces.

Puntos candidatos: x=-2 , x=-1 y los "x" tal que g '(x) = 0

g '(x) = 20x^3 + 6x

20x^3 + 6x = 0

10x(2x^2 + 3) = 0

Única solucion en los reales: x = 0

Pero vemos que x = 0 esta fuera del rango del intervalo (-2,-1) respecto del cual nos preguntan. Esto significa que en dicho intervalo la funcion g(x) ó es solo creciente ó solo decreciente, es decir no hay valle ni cresta.

Por lo tanto sólo hay que evaluar la funcion g en estos dos extremos para saber donde se produce el mínimo en dicho intervalo:

g(-2) = 5(-2)^4 + 3(-2)^2 - 3 = 89

g(-1) = 5(-1)^4 + 3(-1)^2 - 3 = 5

Comparando vemos que 5 < 89, osea g(-1) < g(-2)

Luego, el mínimo valor de g en dicho intervalo es 5, lo que equivale a decir que el mínimo valor de la pendiente de f en dicho intervalo es 5.

Nota: Cambié de nombre a f ' por g para hacer mas didactica la explicación, ya que hay tener presente a qué función nos referimos cuando se menciona derivada, creciente, decreciente, minimo, etc.

Estoy de acuerdo con los colegas de arriba, el tema que estas tratando de llama maximos y minimos. Hay mucha informacion de este tema en la red.

Saludos.

Esta función es creciente en todo su dominio. Concava hacia abajo desde menos infinito hasta cero y concava hacia arriba desde cero hasta infinito. El mínimo valor de la pendiente lo tendrás en x = -1 el cual debes sustituir en la función derivada

F'(x)= 5x^4 + 3x^2 -3

es decir, F'(-1) = 5.(-1)^4 + 3.(-1)^2 - 3 = 5