Porque el minimo valor d la pendiente de la funcion (X^5)+(x^3)-3x+2 en el intervalo (-2;-1) esta en en x=-1?

Respuesta breve: Por que la función es decreciente en el intervalo (-2,-1). Lo que obtengo es la pendiente de la recta tangente a la función F(x) en el punto x=-1.

Explicación más larga:

Empiezo con la segunda pregunta.

Sabemos que la pendiente de la función en un punto es igual al valor de la derivada de la función en dicho punto.

Luego al sustituir por x por -1 obtengo la pendiente de la recta tangente a la función en el punto (-1,3). (el 3 lo he obtenido sustituyendo x por -1 en la función F(x)=x^5+x^3-3x+2

Y ahora con desarrollo la respuesta a la pregunta 1

Para obtener el mínimo valor de una función, debemos conocer varios conceptos:

Cuando derivamos una función obtenemos la pendiente de las rectas tangentes a dicha función.

Si esa pendiente es 0, tenemos una recta horizontal, luego obtenemos un máximo o un mínimo relativo. Por eso para obtener los máximos o los mínimos de una función derivamos la función e igualamos a 0.

Entre dos extremos relativos consecutivos (uno será un máximo y otro será un mínimo) la función será creciente o decreciente. Imagina dos montañas separadas por un valle, entre el valle y el pico de la montaña siempre tendremos que subir.

Así que derivamos la función derivada e igualamos a 0

20x^3+6x=0

sacando factor común

x·(20x^2+6)=0

Para que 20x^2+6=0 x tendría el valor de una raiz negativa que no existe (Buuuueno, es un número imaginario, no sé si ya los habrás estudiado, pero no creo)

Luego tenemos que la función derivada tiene un extremo en x=0. Al tener un extremo este es "absoluto".

¿Es un máximo o un mínimo?

Si derivas otra vez la función 20x^3+6x y sustituyes x por 0 obtienes

60x^2+6, sustituyendo x por 0 obtenes 6. Al ser positivo, te indica que la función derivada en x=0 tiene un mínimo.

Otro modo más sencillo es sustituir x por su 0 en la función 5x^4+3x^2-3 (obtienes -3) y sustituir con otro valor (por ejemplo 1 con lo que obtienes 5) y comparando observas que el valor para x=0 es menor, por tanto tienes un mínimo.

Ahora bien, si en x=0 es un mínimo, indica que la función desde -infinito a 0 es decreciente y desde 0 a + infinito es creciente. (Imagina un valle).

Por tanto, al ser decreciente entre -infinito y 0, es decreciente en el intervalo (-2,-1) y el mínimo valor en el intervalo (-2,-1) se encontrará en el extremo más cercano a 0. En este caso -1

1) La pendiente de una función toma el valor de la derivada de la función en un punto o intervalo. En este caso:

m(x) = F'(x) = 5x^4+3x²-3 (-2<x<-1).

Se quiere ver la variación, a su vez, de m(x), para encontrar su mínimo, por lo que se vuelve a derivar:

m'(x) = 20x³+6x (-2<x<-1).

m'(x) es negativa en todo el intervalo por lo que m(x) es decreciente en el mismo y su mínimo se encontrará en el extremo superior del intervalo, o sea, en x=-1 (cqd).

2) Al sustituir x=-1 en la función derivada F'(x) se obtiene el valor mínimo de la pendiente en el intervalo dado (-2,-1) que es:

F'(-1) = 5+3-3 = 5