Cual es y como se calcula el minimo valor de la pendiente de la funcion F(X)=... en este intervalo (...) ?

con la derivada de f '(x), hallando los puntos criticos y evaluandolos enla derivacion y esos resultados los evaluas con la f(x) ahi te dara una pendiente creciente o decreciente

Funcion pendiente F '(x)

F '(x) = e^x + 2^(-x)Ln2(-1) - 2 sen(x)

F '(x) = e^x - 2^(-x)Ln2 - 2 sen(x)

Ahora hay que hallar el menor valor de F '(x) en el intervalo (0,1.6)

Se sabe que e^x es creciente en todo su dominio |R, entonces en particular es creciente en (0,1.6)

Luego e^0 <= e^x <= e^1.6

1 <= e^x <= e^1.6 ...(1)

2^x es creciente en (0,1.6), por lo tanto 2^(-x) es decreciente (ya que es reflejo de la primera respecto del eje Y), entonces:

2^0 >= 2^(-x) >= 2^(-1.6)

2^(-1.6) <= 2^(-x) <= 1

2^(-1.6)Ln2 <= 2^(-x)Ln2 <= Ln2

-Ln2 <= -2^(-x)Ln2 <= -2^(-1.6)Ln2 ...(2)

En general -1 <= sen(x) <= 1 , pero como x en (0,1.6) , es decir x >= 0

Entonces: 0 <= sen(x) <= 1

0 <= 2sen(x) <= 2

0 >= -2sen(x) >= -2

-2 <= -2sen(x) <= 0 ...(3)

Sumando (1) , (2) y (3)

1 - Ln2 -2 <= e^x - 2^(-x)Ln2 - 2 sen(x) <= e^1.6 - 2^(-1.6)Ln2 + 0

-1 - Ln2 <= e^x - 2^(-x)Ln2 - 2 sen(x) <= e^1.6 - 2^(-1.6)Ln2

-1 - Ln2 <= F '(x) <= e^1.6 - 2^(-1.6)Ln2

Y en esta desigualdad se ve que el mínimo valor de la pendiente de la función F(x) es -1 -Ln2