Como resolver esse problema?

Seja x a largura do rectângulo e y a sua largura.

Perímetro: 2x+2y=80

Isola y: x+y=40 <=> y=40-x (*)

Área: x*y = x*(40-x) = 40x-x^2 = A(x)

Agora calcula a derivada da função área

A'(x) = ( 40x-x^2 )' = 40-2x

Iguala a derivada a 0 para encontrar o extremo da função A:

40-2x=0 <=> 2x=40 <=> x=20

Agora substitui x=20 dentro da função A(x):

A(20) = 40*20-20^2 = 800-400 = 400

Área pedida: 400 m^2

Vamos lá.

Temos que o perímetro de terrenos retangulares é 80m de perímetro. E pede para determinar a área máxima que pode ser associada a esses terrenos. Vamos chamar o comprimento de "C" e a largura de "L"

Assim:

2C + 2L = 80 . (Dividindo ambos os membros por 2, vem):

C + L = 40 ------> C = 40 - L. (I)

A área de um retângulo é dada por:

A = C*L . (II) . (Área é igual a comprimento vezes largura).

Vamos substituir o valor de "C" encontrado em (I) na equação (II):

A = (40 - L)*L = - L² + 40L. Vamos igualar a zero para encontrar as raízes. - L² + 40 = 0 . (multiplicando ambos os membros por -1) vem:

L² - 40L = 0 . Note que o "x" máximo de uma parábola é dado por

-b/2a. Na nossa equação o "b" é -40 (é o coeficiente de L) e o "a" é 1 (é o coeficiente de C). Assim:

-b/2a = -(-40)/(2*1) = 40/2 = 20

OK?

Então a área máxima de terrenos retangulares de 80m de perímetro é de 20m²

OK?

Adjemir.