Come si svolge questa funzione?

f(x) = e^x/3x

DOMINIO:

Basta porre il denominatore diverso da zero

3x ≠ 0 ---> x ≠ 0

DOM = R - {0} = ( -∞ , 0) U (0, +∞)

SIMMETRIE : Nessuna

INTERSEZIONE CON GLI ASSI X E Y:

f(x) ∩ asse x

{ y = e^x/3x

{ y = 0

e^x/3x = 0 --> e^x = 0 MAI ! nessuna intersezione con l'asse x

f(x) ∩ asse y

{ x = 0

{ y = e^x/3x

Non ha senso perché il punto x = 0 ∉ DOM

POSITIVITA'

f(x) > 0

e^x/3x > 0

Essendo l'esponenziale sempre positiva, la f(x) avrà il segno del suo denominatore ossia

f(x) > 0 ---> 3x > 0 ---> x > 0

f(x) < 0 ---> 3x < 0 ---> x < 0

Possiamo concludere che la f(x) è formata da due curve una giacente nel 1° quadrante el'altra nel 3°.

LIMITI AGLI ESTREMI DEL DOMINIO E ASINTOTI EVENTUALI

lim e^x/3x = per sostituzione = 0/-∞ = 0

x→ -∞

L'asse x (ossia la retta y = 0 ) è asintoto orizzontale sinistro

lim e^x/3x = per sostituzione = [+∞/+∞]

x→+∞

o con de L'Hospital o semplicemente notando che l'esponenziale è un infinito di ordine superiore rispetto a 3x avremo che

lim e^x/3x = +∞

x→+∞

quindi la funzione diverge all'infinito senza alcun comportamento asintotico

lim e^x/3x = per sostituzione = 1/0- = -∞

x→0-

lim e^x/3x = per sostituzione = 1/0+ = +∞

x→0+

l'asse y ( ossia la retta x = 0 ) è asintoto verticale

MONOTONIA

f'(x) = e^x·(x - 1)/(3x^2)

DOM f'(x) ≡ DOM f(x)

non esistono punti di non derivabilità

punti stazionari f'(x) = 0

e^x·(x - 1)/(3x^2) = 0 ---> x = 1

f'(x) > 0

e^x·(x - 1)/(3x^2) > 0

il segno è dato solo dal fattore ( x - 1 ) gli altri sono tutti positivi ( escludendo x = 0 )

x - 1 > 0 --> x > 1

. . . . . . . . .1 . . . . . . .

f'(x) - - - - - ● + + + + +

decresce;min;cresce

La funzione presenta un minimo in x = 1 che corrisponde al punto m (1 , e/3)

DERIVATA SECONDA CONCAVITA' E FLESSI

f''(x) = e^x·(x^2 - 2x + 2)/(3x^3)

f''(x) ≥ 0

escludendo l'esponenziale sempre positiva risolviamo

x^2 - 2x + 2 ≥ 0 ---> ∀x∈R perché ha il ∆ < 0 e quindi il trinomio è sempre positivo.

Il segno della derivata seconda equivale al segno di 3x^3

3x^3 ≥ 0 ---> x ≥ 0 ---> x > 0 ( il punto x = 0 non appartiene al dominio! )

. . . . . . . . 0 . . . . . .

f''(x)- - - - - ○ + + + +

. . . .∩ . . . . . . U

Non esistono flessi.

Con le informazioni raccolte si traccia il seguente grafico qualitativo:

http://yfrog.com/1sstudiofunzj