¿Integrales trigonometricas perros?

Hola,

∫ sen‾ ³x cos⁵x dx =

∫ (1 /sen³x) cos⁵x dx =

partamos cos⁵x como:

∫ (1 /sen³x) cos⁴x cosx dx =

∫ (1 /sen³x) (cos²x)² cosx dx =

reemplacemos cos²x con 1 - sen²x:

∫ (1 /sen³x) (1 - sen²x)² cosx dx =

(desarrollando el cuadrado)

∫ (1 /sen³x) [1² - 2sen²x + (sen²x)²] cosx dx =

∫ [(1 - 2sen²x + sen⁴x) /sen³x] cosx dx =

(distribuyendo y simplificando)

∫ [(1 /sen³x) - 2(sen²x /sen³x) + (sen⁴x /sen³x)] cosx dx =

∫ [(1 /sen³x) - 2(1 /senx) + senx] cosx dx =

pongamos:

senx = u

diferenciemos ambos miembros:

d(senx) = du

cosx dx = du

obteniendo, por sustitución:

∫ [(1 /sen³x) - 2(1 /senx) + senx] cosx dx = ∫ [(1 /u³) - 2(1 /u) + u] du =

(partiendo en tres integrales y sacando la constante)

∫ u‾ ³ du - 2 ∫ (1 /u) du + ∫ u du =

[1/(- 3+1)] u‾ ³ ⁺ ¹ - 2 ln | u | + [1/(1+1)] u¹ ⁺ ¹ + C =

[1/(- 2)] u‾ ² - 2 ln | u | + (1/2)u² + C =

(-1/2)(1/u²) - 2 ln | u | + (1/2)u² + C =

- [1 /(2u²)] - 2 ln | u | + (1/2)u² + C

sustituyamos nuevamente senx a u, concluyendo con:

- [1 /(2sen²x)] - 2 ln |senx| + (1/2)sen²x + C

================== ====================

∫ cos‾ ²x sen³x dx =

∫ (1 /cos²x) sen³x dx =

partamos sen³x como:

∫ (1 /cos²x) sen²x senx dx =

reemplacemos sen²x con 1 - cos²x:

∫ (1 /cos²x) (1 - cos²x) senx dx =

∫ [(1 - cos²x) /cos²x] senx dx =

(distribuyendo y simplificando)

∫ [(1 /cos²x) - (cos²x /cos²x)] senx dx =

∫ [(1 /cos²x) - 1] senx dx =

∫ (cos‾ ²x - 1) senx dx =

∫ (cos‾ ²x senx - senx) dx =

(partiendo en dos integrales)

∫ cos‾ ²x senx dx - ∫ senx dx =

∫ cos‾ ²x senx dx - (- cosx) =

∫ cos‾ ²x senx dx + cosx (#)

en la restante integral pongamos:

cosx = u

(diferenciando ambos miembros)

d(cosx) = du

- senx dx = du

senx dx = - du

obteniendo, por sustitución:

∫ cos‾ ²x senx dx = ∫ u‾ ² (- du) =

- ∫ u‾ ² du =

- [1/(- 2+1)] u‾ ² ⁺ ¹ + C =

- [1/(- 1)] u‾ ¹ + C =

- (- 1/u) + C =

(1/u) + C

sustituamos de nuevo cosx a u:

(1 /cosx) + C

en fin insertemos este resultado en la expresión anterior (#), concluyendo con:

(1 /cosx) + cosx + C

============================ =======================

∫ sen³x cosx dx =

sea:

senx = u

diferenciemos ambos miembros:

d(senx) = du

cosx dx = du

obteniendo, por sustitución:

∫ sen³x cosx dx = ∫ u³ du =

[1/(3+1)] u³ ⁺ ¹ + C =

(1/4)u⁴ + C

sustituyamos de nuevo senx a u, concluyendo con:

(1/4)sen⁴x + C

========================= ==================

∫ cos³x dx =

partamos el integrando como:

∫ cos²x cosx dx =

reemplacemos cos²x con 1 - sen²x:

∫ (1 - sen²x) cosx dx =

∫ (cosx - sen²x cosx) dx =

(partiendo en dos integrales)

∫ cosx dx - ∫ sen²x cosx dx =

senx - ∫ sen²x cosx dx (##)

en la restante integral pongamos:

senx = u

(diferenciando ambos miembros)

d(senx) = du

cosx dx = du

obteniendo, por sustitución:

∫ sen²x cosx dx = ∫ u² du =

[1/(2+1)] u² ⁺ ¹ + C =

(1/3)u³ + C

sustituyamos nuevamente senx a u:

(1/3)sen³x + C

en fin insertemos este resultado en la expresión anterior (##), concluyendo con:

senx - (1/3)sen³x + C

======================= =======================

∫ sen⁶x cos⁷x dx =

partamos cos⁷x como:

∫ sen⁶x cos⁶x cosx dx =

∫ sen⁶x (cos²x)³ cosx dx =

reemplacemos cos²x con 1 - sen²x:

∫ sen⁶x (1 - sen²x)³ cosx dx =

(desarrollando el cubo)

∫ sen⁶x [1³ - 3(1²)sen²x + 3(1)(sen²x)² - (sen²x)³] cosx dx =

∫ [sen⁶x (1 - 3sen²x + 3sen⁴x - sen⁶x)] cosx dx =

(desarrollando ulteriormente)

∫ (sen⁶x - 3sen⁸x + 3sen¹ºx - sen¹²x) cosx dx =

pongamos:

senx = u

diferenciemos ambos miembros:

d(senx) = du

cosx dx = du

obteniendo, por sustitución:

∫ (sen⁶x - 3sen⁸x + 3sen¹ºx - sen¹²x) cosx dx = ∫ (u⁶ - 3u⁸ + 3u¹º - u¹²) du =

(partiendo en cuatro integrales y sacando las constantes)

∫ u⁶ du - 3 ∫ u⁸ du + 3 ∫ u¹º du - ∫ u¹² du =

[1/(6+1)] u⁶ ⁺ ¹ - 3 [1/(8+1)] u⁸ ⁺ ¹ + 3 [1/(10+1)] u¹º ⁺ ¹ - [1/(12+1)] u¹² ⁺ ¹ + C =

(1/7)u⁷ - 3(1/9)u⁹ + 3(1/11)u¹¹ - (1/13)u¹³ + C =

(1/7)u⁷ - (1/3)u⁹ + (3/11)u¹¹ - (1/13)u¹³ + C

sustituyamos de nuevo senx a u, concluyendo con:

(1/7)sen⁷x - (1/3)sen⁹x + (3/11)sen¹¹x - (1/13)sen¹³x + C

espero haber sido de ayuda

¡Saludos!

1. arcsen3x

2. tg2x

3.xarctanx

4sin2

5cos7tanx2