(ITA-79) Se a, b, c são as raízes da equação x³-rx+20=0 onde r é um número real, podemos afirmar que o valor de a³+b³+c³ é?

seu nome é sandra ne

x³ + 0x² - rx + 20 = 0 ---> Raízes: a, b, c

x³-rx+20=(x-a)(x-b)(x-c)

x³-rx+20=(x²-x(a+b)+ab)(x-c)

x³-rx+20=x³-x²(a+b)+abx-cx²+x(ac+bc)-abc

x³-rx+20=x³-x²(a+b+c)+x(ac+bc+ab)-abc

Girard:

a + b + c = 0 ----> I

ab + ac + bc = - r ----> II

abc = - 20 ----> III

I*II ----> (a + b + c)*(ab + ac + bc) = 0*(-r) ----> a²b + a²c + ab² + cb² + ac² + bc² = - 3abc ----> IV

I ----> (a + b + c)³ = 0³----> a³ + b³ + c² + 3*(a²b + a²c + ab² + cb² + ac² + bc²) + 6abc = 0 ----> V

IV em V ----> a³ + b³ + c³ + 3*(- 3abc) + 6abc = 0 ----> a³ + b³ + c³ = 3abc ----> a³ + b³ + c³ = - 60