Aplicación de derivada problema?

Question

Una isla está ubicada en el punto A, 4km mar adentro del punto más cercano B de una playa recta. Una mujer en la isla desea ir al punto C, a 6km de B playa abajo. La mujer puede dirigirse hacia el punto P, entre B y C, en un note de remos a 5km/h y después caminar en forma recta de P a C a 8km/hr.
a) En qué punto debe desembarcar para llegar al punto C en el menor tiempo posible?

ElCacho · Accepted Answer

∫ √ ¶ ° ¹ x² ³ ⁴ ª ⁿ ₁ ₂ ← → ⇒ ∀ ∃ ∇ ∂ ∑ ∞ µ ß ± ≅ ≈ ≠ ≤ ≥
½ ⅓ ⅔ ¼ ¾ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞
α β γ δ ε ζ η θ λ μ ξ ρ Σ σ φ ψ ω ϒ Θ Δ Ω Φ
↑ ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇓ ⇔ | ∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∏ ∠ ∧ ∨ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇
∴ ∵ ∼ € ¥ ⊤ ⊥ ∧¬ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ
____________________

Hola! Debe desembarcar a "3,2 Km" del punto B.

Observa en el enlace http://img521.imageshack.us/img521/5328/demo382tb1.gif donde te he dejado un esquema del problema.

Y observa a que he denominado: "a", "b" y "x" siendo:

a = 4 Km
b = 6 Km
x : nuestra incógnita

También llamaremos:
V₁ : velocidad del primer tramo (= 5 Km/h)
V₂ : velocidad del segundo tramo (= 8 Km/h)
____________________

Suponiendo que cada tramo se recorre a velocidad constante, el tiempo que se emplea en cada tramo será el cociente entre la distancia a recorrer y la velocidad empleada. Entonces:
____________________

Tiempo primer tramo.
Aplicando Pitágoras: [√(a² + x²)] / V₁

Tiempo segundo tramo. (b - x) / V₂

El tiempo total (T) que dependerá de "x", será la suma de los dos anteriores:
T(x) = [√(a² + x²)] / V₁ + (b - x) / V₂
____________________

Derivemos la expresión anterior:

T '(x) = {x / [ V₁ . √(a² + x²) ] } - (1 / V₂)

T ''(x) = a² / [ V₁ . (a² + x²)^(3/2) ]

Nota que como T''(x) es SIEMPRE positivo, ello implica que el extremo que encontremos será un mínimo de la función T(x).
____________________

Planteamos T '(x) = 0. Entonces:

{x / [ V₁ . √(a² + x²) ] } - (1 / V₂) = 0 →
x / [ V₁ . √(a² + x²) ] = 1/V₂ → 
[√(a² + x²)] / x = V₂ / V₁ →
√[1 + (a/x)²] = V₂ / V₁ →
1 + (a/x)² = (V₂/V₁)² →
(a/x)² = (V₂/V₁)² - 1 →
a / x = √[ (V₂/V₁)² - 1] →

x = (a.V₁) / √(V₂² - V₁²)

Es interesante advertir que la posición del punto "P" para el recorrido con el menor tiempo posible... NO DEPENDE de "b".
____________________

Y con:
a = 4 Km
V₁ = 5 Km/h
V₂ = 8 Km/h

resulta: "x = 3,2 Km".
____________________

Saludos
...

2L1 · Answer

Dist A, B = 4 km
Dist B, C = 6 kms
Dist B, P = x kms

Dist A, P = raíz (16 + x^2)
Vel  en A P = raiz (16 + x^2) / 5  km/h

Dist P, C = 6 – x
Vel en P, C = (6 – x ) / 8  km/h

Mínimo de raiz (16 + x^2) / 5 + (6 – x ) / 8

Derivando e igualando a cero se obtiene x = 3.2 kms

Es decir, Dist B, P = 3.2 km

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