Como o Banco do Brasil reconhece o meu computador? Quais os componentes que se substituidos impedem o reconhe?

Normalmente qualquer altentificação deste tipo utiliza como primeiro ponto o MAC Adress de sua placa de rede.

Em conjunto a isso, o sistema operacional e até o nome que você deu a seu computador podem influenciar.

http://www.fabricandosites.com.br/

não conheço o sistema deles (sou de Portugal) mas tecnicamente há duas hipóteses, ou armazenou o nome de utilizador e a palavra passe no browser, ou instalou um certificado digital.

Se for a primeira é só procurar os dados de formulário e apagar, que pode ser de inúmeras maneiras dependendo do seu programa de navegação.

Se for a segunda hipótese tem que procurar nas definições ou do internet explorer por certificados digitais e apagar só o do banco do brasil.

acredito que seja pelo IP.