¿ayudenme con esta integral trigonométrica¡¡¡¡?

Hola el bueno , vamos a resolver la integral, paso a paso

: : cos³ [x] dx

∫ ------------------

: : sen^4 [x]

➊ Manipulamos la integral y utilizamos las siguientes identidades

: : cos³ [x] dx

∫ -------------------------------

: : : sen³ [x] * sen [x]

cos [x]

------------ = Ctg [x]

sen [x]

∴

cos³ [x]

------------- = Ctg³ [x]

sen³ [x]

: : 1

----------- = csc [x]

sen [x]

➋ Sustituimos en integral

: : cos³ [x] dx

∫ ------------------

: : sen^4 [x]

: : ctg³ [x] dx

∫ ---------------------------

: : : : : : : : : sen [x]

: : : : : : : : : : : : : 1

∫ ctg³ [x] dx * -------------

: : : : : : : : : : sen [x]

∫ ctg³ [x] * csc [x]

➌ Utilizamos la siguiente identidad

ctg² [x] = csc² [x] – 1

➍ Sustituimos en integral

∫ ctg [x] * csc [x] [csc² [x] – 1] dx

➍ Hacemos

u = csc [x]

du = - ctg [x] * ctg [x] dx

: : : : : : : : : du

dx = --------------------

: : : : - ctg [x] * ctg [x]

➎ Sustituimos en integral

∫ ctg [x] * csc [x] [csc² [x] – 1] dx

: : ctg [x] * csc [x] [ u² - 1] du

∫ --------------------------------

: : - ctg [x] * csc [x]

- ∫ [ u² - 1] du

- ∫ u² du + ∫ du

➏ Resolvemos

- ∫ u² du + ∫ du = - [⅓] u³ + u + C

➐ Restituimos

u = csc [x]

Este es el resultado

==================

csc [x] - [⅓] csc³ [x] + C

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Saludos