Brauche Hilfe zu Funktionsscharen-Aufgabe?

Question

allo =) Brauche dringend Hilfe bei folgender Aufgabe:

f(x) = a/x * e^( - x + 1)      (Graphen der Schar: G)

a) wie ist der größtmögl. Definitionsbereich? Bestimmen Sie das Verhalten für x gegen +Unendlich
b) Begründen Sie, dass kein Graph G der Schar die Koordinatenachsen schneiden
c) Spiegelt man G an der x-Achse, erhält man einen anderen Graphen der Schar. Welchen Parameter hat dieser?

ich bin nur soweit gekommen die Funktion umzustellen auf a * x^-1 * e^-x+1
wie geht's weiter? Ich wäre seeehr dankbar über Hilfe.!!!

Wurzelgnom · Accepted Answer

Ich habe schon bei Deiner ersten Frage meine Antwort als Kommentare reingeschrieben, also jetzt noch mal:
y = f(x) = a/x * e^( - x + 1) 
y = f(x) = a/[x e^(x - 1)]
(Du musst auch bei Deiner Umformung die Klammern um den Exponenten setzen, wenn - x + 1 der Exponent sein soll. sonst addiert man ganz zum Schluss die 1.

a)
Größtmöglicher Definitionsbereich
x muss ungleich 0 sein, damit der nenner von 0 verschieden ist.
lim x -> oo f(x) = 0, da der Zähler a = const. ist und der Nenner gegen oo unbeschränkt wächst.
b)
a muss von 0 verschieden sein, weil sonst die Funktion f identisch const. = 0 wäre
Damit wird der Zähler und damit f niemals 0, also gibt es keine Nullstelle.
Also kein Schnittpunkt mit der x-Achse.
x = 0 gehört nicht zum Definitionsbereich, also kein Schnittpunkt mit der y-Achse.

c) Spiegelung an der y-Achse bedeutet, alle Funktionswerte durch die entgegengesetzte Zahl ersetzen.
y = f_gespiegelt(x) = - f (x)
y = f_gespiegelt(x) = - a/x * e^( - x + 1) = - a/[x * e^(x - 1)]

@Zusatzfrage
Behauptung:
Jeder Graph der Schar hat genau eine Tangente, die parallel zur x-Achse verläuft, d.h.
Für jeden Graph verschwindet die 1. Ableitung genau ein Mal.

y = a / [x * e^(x - 1)]
y' = f '(x) = - a [xe^(x - 1) + e^(x - 1)]/ [x*e^(-1)]²
= - a * e^(x - 1) ( x + 1)/[xe^(x-1)]²

Dieser Term wird genau dann gleich 0, wenn x + 1 = 0, also
(unabhängig von a)
für x = - 1

Der Funktionswert an deiser Stelle ist:
f ( - 1) = - a / e^(- 2) = - ae²

Die Gleichung der Tangente durch
P( - 1 | - ae²) ist
y = - ae²

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