¿Cómo resuelvo este sistema de 4x3?

Podés hacerlo así:

Resolve primero un sistema de 3x3 con las tres primeras ecuaciones. Si ese sistema de 3x3 es compatible determinado (tiene solución) probá la misma en la cuarta ecuación.

Resolviendo el de 3x3 da

x = 3/37

y = 10/37

z = 24/37

y reemplazando estos valores en la cuarta queda -2 * 3/37 - 3 * 10/37 + 4 * 24/37 = hago la cuenta y da: 60/37 y no cero como dice la cuarta ecuación. Por lo tanto el sistema no tiene solución.

Podría llegarse a la misma conclusión por sustitución o por Gauss-Jordan

Suerte

Para que un sistema de ecuaciones tenga solucion se necesita que el numero de incognitas sea igual al numero de ecuaciones.

en tu caso tienes 3 incognitas (x,y,z) y tienes 4 ecuaciones, asi que tu sistema podria tener solucion asi como tambien podria tener infinitas soluciones como no podria tener solucion.

según parece alguna ecuacion es multiplo de otra para saber eso necesitas hacer una combinacion lineal. Si resulta que una ecuacion es multiplo q otra se elimina cualquiera de las dos y luego tu sistema ya se podrá resolver tranquilamente.

x = 1 - y - z

reemplazalo en la primera: 6*(1-y-z) + 3y - 2z = 0

reemplazalo en la segunda -4(1-y-z) + 6y- 2z = 0

ahora redujiste todo a 2 formulas. Ahi encontraras cuanto es y y z. luego x