¿Cómo sacar Raices de una matriz?

Question

Tengo una matriz A de 3x3, me piden hallar una matriz B (que pertenece a los racionales también de 3x3) tal que B al cuadrado sea igual a A (B^2 = A).
    
........5   1   4
A =  -1   3  -1
........0   0   1

(omitan los puntitos, si no que si no los ponia la matriz salia desordenada, pero todos los numeros son enteros).

Anonymous · Accepted Answer

Una forma general (que no sé si te enseñaron, o si te dejan aplicarla) es diagonalizarla (D) con autovectores y autovalores (P). Una vez diagonalizada, la matriz raíz es directamente la matriz que se forma al sacar la raiz de cada uno de los autovalores.

Ver aqui que está bien claro: http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_diagonalizable

D={L1, L2,....}
A =PDP'     (donde P' = P^(-1))
A^(1/2) = P D^(1/2)P'
D^(1/2) = {L^1/2, L^1/2,....}
Pero a veces falla porque A no es diagonalizable!!!

Para tu ejemplo:
A = {{5,1,4}, {-1,3,-1},{0,0,1}}
Con el método de Jacobi (http://www.ugr.es/~prodelas/ftp/Algebra/Practica8.pdf) obtenemos
Eigenvalues[A]={4,4,1}
y justamente aquí falla porque hay autovalores repetidos y P es singular!!!

O sea hay que buscar otra forma de hallar A^(1/2), por ejemplo usando un sistema de 9 ecuaciones con 9 incógnitas. Sea B la matriz raíz cuadrada buscada.

B={{b11,b12,b13},{b21,b22,b23},{b31,b32,b33}}

B x B=A
o sea, aplicando definición de producto:
B x B = {{b11^2 + b12 b21 + b13 b31, b11 b12 + b12 b22 + b13 b32,   b11 b13 + b12 b23 + b13 b33}, {b11 b21 + b21 b22 + b23 b31,   b12 b21 + b22^2 + b23 b32,   b13 b21 + b22 b23 + b23 b33}, {b11 b31 + b21 b32 + b31 b33,   b12 b31 + b22 b32 + b32 b33, b13 b31 + b23 b32 + b33^2}}
=
{{5,1,4}, {-1,3,-1},{0,0,1}}

La solución es
B ={ -9/4, -1/4, -5/4},{1/4, -7/4, 1/4},{0, 0, -1}}

Se verifica B x B = A

Salu2

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