¿Encuentra la integral indefinida usando substitucion trigonometrica?

Hola,

escribamos la integral como:

∫ [x /√(x² + 11²)] dx =

pongamos:

x = 11tanθ

tanθ = x/11

dx = 11sec²θ dθ

obteniendo:

∫ [x /√(x² + 11²)] dx = ∫ {11tanθ /√[(11tanθ)² + 11²]} 11sec²θ dθ =

∫ [11tanθ /√(11²tan²θ + 11²)] 11sec²θ dθ =

∫ {11tanθ /√[11² (tan²θ + 1)]} 11sec²θ dθ =

(reemplazando tan²θ + 1 con sec²θ)

∫ [11tanθ /√(11²sec²θ)] 11sec²θ dθ =

∫ [11tanθ /(11secθ)] 11sec²θ dθ =

(simplificando y sacando la constante)

11 ∫ tanθ secθ dθ =

(siendo tanθ secθ la derivada de secθ)

11secθ + C

recordemos que tanθ = x/11

por tanto:

secθ = √(tan²θ + 1) = √[(x/11)² + 1] = √[(x²/121) + 1] = √[(x² + 121)/121] =

[√(x² + 121)] /11

luego, substituyendo:

11secθ + C = 11 {[√(x² + 121)] /11} + C =

√(x² + 121) + C

la respuesta es:

∫ [x /√(x² + 121)] dx = √(x² + 121) + C

espero que sea de ayuda

¡Saludos!