[kần gấp] bất đẳg thức luv 8?

Chào bạn! (^_^)"

Bài này cũng không khó lắm đâu!

Giả sử BĐT cần chứng minh đúng với mọi a;b;c > 0

Khi đó: 1/(2a+1) +1/(2b+1) +1/(2c+1) >= 1

Quy đồng và khử mẫu:

=> (2b+1)(2c+1) +(2a+1)(2c+1) +(2a+1)(2b+1) = (2a+1)(2b+1)(2c+1)

<=> 4bc+2b+2c+1 +4ac+2a+2c+1+4ab+2a+2b+1 = 8abc+4ab+4ac+4bc+2a+2b+2c+1

<=> 4a +4b +4c +3 >= 8abc +2a +2b +2c +1

<=> 4(a +b +c) >= 8abc +2(a +b +c) -2

<=> 2(a +b +c) >= 8abc -2

Do abc = 1

<=> 2(a +b +c) >= 6

<=> a +b +c >= 3 (*)

Mặt khác: Do a;b;c > 0 nên ta áp dụng BĐT cô-si cho 3 số dương

=> a +b +c >= 3.cb3(a.b.c) = 3 (cb3 là căn bậc 3 nha bạn)

=> (*) luôn đúng

=> Điều giả sử ở đầu bài luôn đúng với mọi a;b;c > 0

---> đpcm

Chúc bạn thành công nha!!! (*_*)"

1/(2a+1) + 1/(2b+1) +1/(2c+1) >=1

<=> (2a+1)(2b+1) + (2b+1)(2c+1) + (2a+1)(2c+1) >= (2a+1)(2b+1)(2c+1)

<=> 4(a+b+c) + 4(ab+bc+ca) + 3 >= 1 + 2(a+b+c) + 4(ab+bc+ca) + 8abc

<=> 2(a+b+c) >= 6 (Lưu ý abc=1)

<=> a+b+c >= 3 (1)

Đặt S = a+b+c

(a+b) + (c + S/3) >= 2căn(ab) + 2căn(cS/3) >= 2căn4(abcS/3) = 2căn4(S/3)

=> 4S/3 >= 2căn(4S/3)

=> căn(4S/3) >= 2

=> 4S/3 >= 4

=> S >= 3 hay a+b+c >= 3

=> (1) đúng

=> BDT dc chứng minh