Inégalité avec des suites à prouver?

Question

Bonjour,

Je suis en présence d'une suite (Un) définie par récurrence telle que : U0 = 0 et Un+1 = V(3Un+4)

(V désigne la racine carrée).

Il faut démontrer que 4-U(n+1) ≤ 1/2*(4-Un)

J'ai réussi à prouver que (Un) était croissante et convergente de limite 4.
Je prouve que 4-U(n+1) ≤ 4-Un mais je bloque avec le 1/2

Un raisonnement par récurrence ne m'a pas aidé.

Auriez-vous des pistes ?

Merci.

jean stone · Accepted Answer

comme souvent , avec les V , penser à l'expression conjuguée :

4-U(n+1)=4-V(3Un+4)=[(4-V(3Un+4)][4+V(3Un+4)]/[3+V(3Un+4)]

=(16-3Un-4)/[4+V(3Un+4)]=3(Un-4)/[4+V(3Un+4)]

visiblement , pour tout n , Un>0 ( récurrence évidente )

donc 3Un+4>4=> 4+V(3Un+4)>6

et par suite

4-U(n+1)<3(Un-4)/6 ; soit 4-U(n+1)<(1/2)(Un-4) CQFD

normalement , c'est seulement après ça que l'on déduit la limite :

au préalable une récurrence pour prouver que pour tout n ,Un<4 , soit 4-Un>0

alors 0<4-UN<(1/2)(4-U(n-1))<(1/2)²(4-U(n-2))<(1/2)^3(4-U(n-3))<......<(1/2)^n(4-U0)

soit 0<4-Un<4(1/2)^n

0<1/2<1=>lim(1/2)^n=0=>lim4(1/2)^n=0=>lim(4-Un)=0

et donc lim Un=4

Athanatophobos · Answer

Rhaa, je n'avais pas pensé à l'expression conjuguée.

Merci de votre explication.

Trending News