¿Dados A=(0,3) y B=(2,2), calcular cual es el camino mas corto para ir de A a B pasando por un punto del eje de abscisas?

Es el problema del billar. Para resolverlo geométricamente se considera el punto P simétrico del A con el eje OX. (Es indiferente hacerlo con el punto A o con el punto B). Y se construye la recta PB. Sea Q el punto de corte con OX.

La distancia más corta de P a B es la recta PB. Y como AQ = PQ, el camino más corto es AQB.

Aunque el ejercicio no lo pide, hallar las coordenadas de Q es muy sencillo (basta hacer y=0 en la recta que pasa por los dos puntos P y B) y, por tanto, la distancia recorrida en ese camino más corto.

http://s278.photobucket.com/user/Justo_63/media/Bi...

Si (b,0) es el punto ,las distancias son

DAb^2 = (3-0)^2+ (b-0)^2

DAb^2 = 9+ b^2

DAb = raíz (9+ b^2)

DbB^2 =(2-0)^2+ (2-b)^2

DbB^2 = 4+ (2-b)^2

DbB = raíz (4+ (2-b)^2 )

D=DAb+DbB

D=raíz (9+ b^2) + raíz (4+ (2-b)^2 )

dD/db = 2b * (1/2 raíz (9+ b^2)) + (2-b)*2*(-1)*(1/2raíz (4+ (2-b)^2 )) =0

dD/db = b * (1/ raíz (9+ b^2)) - (2-b)*(1/raíz (4+ (2-b)^2 )) =0

b raíz (4+ (2-b)^2 - (2-b) *raíz (9+ b^2)) =0

b raíz (4+ (2-b)^2 = (2-b) *raíz (9+ b^2)) eleva a 2

b^2* (4+ (2-b)^2 = (2-b)^2 *( 9+ b^2)

4b^2 + (2-b)^2* b^2 = 9(2-b)^2 + b^2* (2-b)^2

Eliminando T semejantes

4b^2 =9(2-b)^2

4b^2=36- 36b+ 9b^2

5b^2- 36b+36=0

b= (36+-24) /10

b1=6

b2=12/10 = 6/5

Para saber cual es lo k produce una D min se debe probar k

dD2/db2 >0 en cada b , pero eso es muy largo. Es obvio, dada la ubicación de los puntos , k P( 6/5 ,0) produce Dmin