¿Por favor, como calculo la integral de: 1/(sen(x)-tg(x)?

Hola,

∫ [1 /(senx - tgx)] dx =

apliquemos las fórmulas de la tangente del ángulo medio senx = 2tg(x/2) /[1 +

tg²(x/2)] y tgx = 2tg(x/2) /[1 - tg²(x/2)]:

∫ [1 /{{2tg(x/2) /[1 + tg²(x/2)]} - {2tg(x/2) /[1 - tg²(x/2)]}} } dx =

(sacando 2tg(x/2) )

∫ [1 /{2tg(x/2) {{1 /[1 + tg²(x/2)]} - {1 /[1 - tg²(x/2)]}} } } dx =

(poniendo [1 + tg²(x/2)][1 - tg²(x/2)] como denominador común)

∫ [1 /{2tg(x/2) { {[1 - tg²(x/2)] - [1 + tg²(x/2)]} /{[1 + tg²(x/2)][1 - tg²(x/2)]} } } } dx =

∫ [1 /{2tg(x/2) {[1 - tg²(x/2) - 1 - tg²(x/2)] /{[1 + tg²(x/2)][1 - tg²(x/2)]} } } } dx =

∫ [1 /{2tg(x/2) {[- 2tg²(x/2)] /{[1 + tg²(x/2)][1 - tg²(x/2)]} } } } dx =

∫ [1 /{[- 4tg³(x/2)] /{[1 + tg²(x/2)][1 - tg²(x/2)]}} } dx =

∫ { {[1 + tg²(x/2)][1 - tg²(x/2)]} /[- 4tg³(x/2)]} dx =

ahora pongamos:

tg(x/2) = u

de donde:

x/2 = arctg u

x = 2arctg u

dx = 2 [1 /(1 + u²)] du

obteniendo por sustitución:

∫ { {[1 + tg²(x/2)][1 - tg²(x/2)]} /[- 4tg³(x/2)]} dx =

∫ {[(1 + u²)(1 - u²)] /(- 4u³)} 2 [1 /(1 + u²)] du =

(simplificando)

∫ [(1 - u²) /(- 2u³)] du =

(distribuyendo y simplificando)

∫ {[1 /(- 2u³)] - [u² /(- 2u³)]} du =

∫ {- (1/2)(1/u³) + [1 /(2u)]} du =

(partiendo en dos integrales y sacando las constantes)

- (1/2) ∫ u‾ ³ du + (1/2) ∫ (1/u) du =

- (1/2) [1/(- 3+1)] u‾ ³ ⁺ ¹ + (1/2) ln | u | + C =

- (1/2) [1/(- 2)] u‾ ² + (1/2) ln | u | + C =

(1/4)(1/u²) + (1/2) ln | u | + C =

(1/4)(1/u)² + (1/2) ln | u | + C =

sustituyamos nuevamente tg(x/2) a u:

(1/4)[1 /tg(x/2)]² + (1/2) ln |tg(x/2)| + C =

(1/4)[cotg(x/2)]² + (1/2) ln |tg(x/2)| + C =

concluyendo con:

(1/4)cotg²(x/2) + (1/2) ln |tg(x/2)| + C

espero haber sido de ayuda

¡Saludos!

Muchas gracias a los 3

aun no las he estudiado como se debe xD pero busca en la guia de las 801 ejercicios de integrales. Lo encuentras buscando asi en google y vienen resueltas

Saludos