Yahoo Answers is shutting down on May 4th, 2021 (Eastern Time) and beginning April 20th, 2021 (Eastern Time) the Yahoo Answers website will be in read-only mode. There will be no changes to other Yahoo properties or services, or your Yahoo account. You can find more information about the Yahoo Answers shutdown and how to download your data on this help page.
Trending News
Probabilità lancio moneta?
Lanciando una moneta onesa (p= 0,5) più volte, mi aspetto che ci siano delle "strisce" consecutive di teste e croci. Qual è la lunghezza media di una striscia di teste per una serie di n lanci? Qual è la più probabile? Qual è la più lunga che posso aspettarmi? E nel limite n->infinito?
Eh, avevo pensato anch'io a fare una cosa del genere, ma avevo imposto di partire con una croce e finire con una croce, quindi avevo Pr [ X = k ] = p^k * q^2, contando sul fatto che nel limite n->inf la condizione sul bordo dovrebbe perdere importantza e quindi l'andamento a grandi n dovrebbe essere corretto, ma mi puzzava di troppo semplice. Online ho trovato alcune referenze che svolgono il calcolo in maniera molto diversa (tra di loro e rispetto al mio), sfruttando funzioni diverse e cercando
leggi di ricorsività. In ogni caso: cosa intendi con "il problema é che le teste consecutive si possono presentare a grappoli, due prima, tre dopo un pò, poi altre due"? Se ho capito cosa intendi: non voglio contare la somma di tutte le teste che appaiono in serie, mi basta sapere la singola serie più lunga. Mi sa che devo pensarci ancora un po', mi sa che c'è qualcosa sotto che ancora non riesco bene a mettere a fuoco :/
1 Answer
- AnonimoLv 73 years agoFavorite Answer
Sono tutte domande affascinanti ma temo che non siano poste in modo del tutto preciso.
Si potrebbe, intuitivamente, definire la distribuzione del numero di teste consecutive nel modo seguente
Pr [ X = k ] = p^k * q per k che va da 0 a n - 1, Pr [X = n] = p^n
perché se al successivo lancio non esce croce le teste consecutive sono almeno k + 1 e quindi non k
e calcolare la media come
E[X] = S_k:0->n-1 (k) p^k * q + n* p^n in cui il primo termine potrebbe essere valutato con qualche tecnica nota ***
ma il problema é che le teste consecutive si possono presentare a grappoli, due prima, tre dopo un pò, poi altre due ... allora se il problema é la distribuzione del MASSIMO numero di teste consecutive in n lanci, posso garantire che esso é veramente non banale, e può essere risolto solo numericamente.
La più lunga che posso aspettarmi ha ovviamente lunghezza n e probabilità p^n.
****
Per esempio osservando che
q S_k:0->n-1 k p^k = pq S_k:0->n-1 k p^(k-1) =
= pq S_k:0->n-1 d/dp (p^k) =
= pq d/dp S_k:0->n-1 p^k =
= pq d/dp [( 1 - p^n)/(1-p)] =
= pq [ -n p^(n-1)(1-p) - (1-p^n)(-1) ]/(1-p)^2 =
= pq [ -np^(n-1) + np^n + 1 - p^n ]/q^2 =
= p/(1-p) *[ 1 - p^n - np^(n-1) ( 1- p) ] =
= p/(1-q) * (1-p) ( 1+ p + p^2 + ... + p^(n-1) - np^(n-1) ] =
= p ( 1 + p + p^2 + ... + p^(n-1) - np^(n-1) ) =
= p + p^2 + p^3 + ... + p^n - np^n
e la media E[X] sarebbe quindi, con l'aggiunta di np^n che stava fuori dalla somma,
p + p^2 + ... + p^n = p ( 1 + .... + p^(n-1) ) =
= p *(1-p^n)/(1-p)
e se - come nel caso di moneta non truccata - p = 1/2
E[X] = 1-1/(2^n)
