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Matematica ... come calcolare qst limite?
lim ( (1 + sqrt(1+x^2))/x )^x
x → 0
SENZA usare Hopital o sviluppi in serie
soluzione per una 4^ scientifico
Grazie
1 Answer
- cmcsafeLv 72 years agoFavorite Answer
Il limite non esiste.
Dominio della funzione
(1+√(1+x²))/x>0 essendo una base di un esponente reale
Osserviamo che il numeratore è positivo, quindi
Dominio=(0,+oo)
Il limite per x→0 non esiste, al più è possibile calcolare il limite laterale x→0⁺
Calcoliamolo. Passiamo alla forma esponenziale
=lim e^ln[ ( (1 + sqrt(1+x^2))/x )^x ]=
x→0⁺
=lim e^{x*ln[ ( (1 + √(1+x^2))/x )]}=(*)
Essendo l'esponenziale una funzione continua possiamo calcolare il limite dell'esponente per poi applicarlo alla base e
lim x*[ln(1 + √(1+x^2) - lnx]=
x→0⁺
=lim x*[ln(1 + √(1+x^2) - x*lnx= 0*ln(2) - 0= 0
x→0⁺
Abbiamo usato il limite notevole
x*lnx → 0 per x→0⁺
Ritornando al nostro limite
(*) = eº =1
