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Matematica: una strana sistituzione in un integrale?
Dovevo calcolare questo integrale con sistituzione
S 1/ sqrt(1 - 36x^2) dx
Con la sostituzione normale 6x=t ottengo il risultato del libro, ossia
(1/6) arcsin(6x) + C
Poi ho voluto provare una altra sostituzione. E vi scrivo tutti i passaggi perché in questo modo ottengo una altra soluzione, che è buona solo a metà. via con il calcolo, poi le conclusioni.
1 - 36 x^2 = t^2
- 72x dx = 2t dt
x^2 = (1 - t^2)/36 ..... x = (1/6) sqrt(1- t^2)
dx = (-1/36) t dt / ( (1/6) sqrt(1- t^2))
L'integrale diventa
S (-1/6) 1/ sqrt(1- t^2) dt = (-1/6) arcsin t = (-1/6) arcsin(sqrt(1- t^2)) + C
E veniamo alla STRANEZZA/ERRORE
per x>0 le soluzioni sono equivalenti, anche se DIFFERISCONO per una costante.
per x<0 le soluzioni sono assolutamente DIVERSE... HANNO SEGNI OPPOSTI, oltre a differire per una costante.
DOMANDE: QUAL È IL PASSAGGIO ERRATO? COME CORREGGERLO?
grazie
2 Answers
- cmcsafeLv 71 year agoFavorite Answer
x^2 = (1 - t^2)/36 ..... x = (1/6) sqrt(1- t^2)
in realtà
x^2 = (1 - t^2)/36 ⇒ |x| = (1/6) sqrt(1- t^2)
a questo punto devi considerare i due casi
i) x≥0 avremo x=(1/6)sqrt(1- t^2)
ii) x<0 avremo x = (-1/6)sqrt(1-t^2)
etc
- exProfLv 71 year ago
Dalle Tavole si ha
* ∫ du/√(1 - u^2) = arcsin(u) + c
quindi è pacifico che, con
* u = 6*x ≡ x = u/6
* du = 6*dx ≡ dx = du/6
si abbia
* ∫ dx/√(1 - 36*x^2) =
= ∫ (du/6)/√(1 - u^2) = = arcsin(u)/6 + c =
= arcsin(6*x)/6 + c
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Con la sostituzione
* (1 - 36*x^2) = t^2
ti devi riportare a
* √(1 - 36*x^2) = √(t^2) = |t| [per t reale]
CHE NON HA UNA DERIVATA MOLTO LISCIA, adatta per farci una sostituzione
d/dt |t| = t/|t|
che è quasi la funzione segno, salvo che nell'origine è indefinita invece che zero.
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I TUOI PASSAGGI (l'errore sta nel passaggio da x^2 a x)
* 1 - 36*x^2 = t^2 ≡
≡ x^2 = (1 - t^2)/36 ≡
≡ √(x^2) = √((1 - t^2)/36) ≡
≡ |x| = √(1 - t^2)/6
oppure
≡ x = ± √(1 - t^2)/6
MA ASSOLUTAMENTE NON
≡ x = √(1 - t^2)/6
