domanda di analisi matematica?

Question

Calcolare il seguente integrale integrale doppio su D di f(x,y)dxdy dove D = {(x,y) : x ≥ 0, y ≥ 0,−x2 + 1 ≤ y ≤(−x^2 /4) + 1} e f(x,y) = x + y. Dovrei riscrivere quel dominio come dominio normale rispetto ad y con la x che varia tra due funzioni dipendenti da y ma mi sembra abbastanza complicato definire tale dominio.Sapreste risolvere questo integrale spiegando dettagliatamente i passaggi?

Innominatus · Accepted Answer

Il dominio descritto non è normale rispetto all'asse x, ma rispetto
all'asse y lo è. Si ha infatti
0 ≤ y ≤ 1, √(1-y) ≤ x ≤ 2√(1-y).
Allora dobbiamo prima integrare la funzione x+y in dx fra i limiti
√(1-y) e 2√(1-y)
con risultato
(3/2) (1-y) + y √(1-y);
poi si integra quest'ultima funzione in dy fra i limiti 0 e 1;
primitiva [45y^2+90y+45+24(1-y)^(5/2)-40(1-y)^(3/2)]/60;
risultato finale 61/60.