Chi mi sa spiegare come si scompone in fattori P(x) = x^5 - x^4 + 2 x^3 + 1?

Raffaele: non devi dare suggerimenti!

Se no che gusto c'è a rispondere?

Propongo il seguente modo:

siccome faccio un prodotto tra 2 polinomi:

uno di 2° grado e l'altro di 3° grado so con certezza che i due polinomi sono del tipo:

(x^2 + c·x + 1)·(x^3 + d·x^2 + e·x + 1)

oppure del tipo:

(x^2 + c·x - 1)·(x^3 + d·x^2 + e·x - 1)

in cui ho messo tre coefficienti da determinare.

Sviluppo il 1°:

x^5 + x^4·(c + d) + x^3·(c·d + e + 1) +

+ x^2·(c·e + d + 1) + x·(c + e) + 1

Adesso faccio un sistema lineare:

{c + d = -1

{c·d + e + 1 = 2

{c·e + d + 1 = 0

{c + e = 0

Lo risolvo:

c = -1 ∧ d = 0 ∧ e = 1

Quindi:

(x^2-x+1)(x^3+x+1)

Ciao Luciano

NON RIESCO AD ASSEGNARE UN RAGIONEVOLE SIGNIFICATO ALL'ESPRESSIONE "testare il livello di difficoltà", almeno non fin quando non mi si dia un riferimento a unità e metodi di misura della grandezza "difficoltà".

SCOMPOSIZIONE

La scomposizione in fattori dei polinomi reali si basa sulle due regole seguenti.

A1) Ogni polinomio a coefficienti reali è decomponibile in un prodotto di altri polinomi a coefficienti reali, più semplici, di grado non superiore a due.

A2) Nella scomposizione di un polinomio p(z) a coefficienti reali:

A2a) C'è un solo fattore K costante (di grado zero): il coefficiente direttore (della massima potenza di z).

A2b) C'è un fattore della forma (z - x0) per ogni zero reale semplice x0.

A2c) Ci sono k fattori della forma (z - x0) [cioè un fattore della forma (z - x0)^k] per ogni zero reale x0 di molteplicità k.

A2d) C'è un fattore della forma (z^2 + b*z + c) per ogni coppia di zeri complessi coniugati (x0 ± i*y0).

A2e) Ci sono k fattori della forma (z^2 + b*z + c) [cioè un fattore della forma (z^2 + b*z + c)^k] per ogni coppia di zeri complessi coniugati di molteplicità k.

A2f) Non ci sono fattori di altre forme.

La scomposizione si fa (carta e penna) provando come zeri potenziali i divisori del termine noto; oppure con un software di calcolo simbolico come WolframAlpha; oppure con metodi misti.

Ad esempio, per la scomposizione di

p(x) = x^5 - x^4 + 2*x^3 + 1

escluso p(0) = 1 != 0, il primo tentativo è di provare la regola di Ruffini valutando p(x) sui divisori di uno (± 1): p(- 1) = - 3; p(1) = 3.

Ciò esclude la presenza di zeri razionali ovvero di un fattore (x - q) con q intero non nullo

(v. http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_delle_radici_... ).

Il grado 5 (dispari) garentisce la presenza di almeno uno zero reale e, quindi, irrazionale.

Fallito il primo tentativo di trovare un (x - q), il secondo è di cercare un (x^2 + a*x + b) con (a, b) interi non nulli:

(x^5 - x^4 + 2*x^3 + 1) = (x^2 + a*x + b)*(x^3 - (a + 1)*x^2 + (a^2 + a - b + 2)*x - a^3 - a^2 + 2*a*b - 2*a + b) + ((a^4 + a^3 + (1 - 3*b)*a^2 - 2*b + (a - b)^2)*x + (b*a^3 + b*a^2 - 2*a*b^2 + 2*a*b - b^2 + 1))

cioè di trovare soluzioni intere al sistema

(a^4 + a^3 + (1 - 3*b)*a^2 - 2*b + (a - b)^2 = 0) & (b*a^3 + b*a^2 - 2*a*b^2 + 2*a*b - b^2 + 1 = 0)

cosa impensabile a livello simbolico, ma di pochissimo impegno numericamente.

Ad esempio

(nell'ambiente IDLE di Python ">>> " è il prompt, la riga successiva il risultato.

Trovi documentazione e testi ai link

http://www.python.it/

http://www.python.it/doc/Howtothink/Howtothink-htm... )

ho scritto ed eseguito quanto segue

#

IDLE 1.2

>>> def provaAB(a, b): return (a**4 + a**3 + (1 - 3*b)*a**2 - 2*b + (a - b)**2, b*a**3 + b*a**2 - 2*a*b**2 + 2*a*b - b**2 + 1)

>>> def prove(La, Lb):

result = []

for a in La:

for b in Lb: result.append([a, b, provaAB(a, b)])

return result

>>> L=(-2,-1,1,2)

>>> prove(L, L)

[[-2, -2, (40, 29)], [-2, -1, (27, 12)], [-2, 1, (7, -4)], [-2, 2, (0, -3)], [-1, -2, (12, 9)], [-1, -1, (6, 4)], [-1, 1, (0, 0)], [-1, 2, (0, 1)], [1, -2, (22, -19)], [1, -1, (12, -6)], [1, 1, (-2, 2)], [1, 2, (-6, -3)], [2, -2, (72, -51)], [2, -1, (51, -20)], [2, 1, (15, 12)], [2, 2, (0, 13)]]

>>>

#

ottenendo, già nei sedici tentativi prossimi allo zero, una soluzione: [-1, 1, (0, 0)].

AL COSTO DI MENO DI DUE MINUTI DI PROGRAMMAZIONE!

Quindi

(x^5 - x^4 + 2*x^3 + 1) =

= (x^2 + (-1)*x + 1)*(x^3 - ((-1) + 1)*x^2 + ((-1)^2 + (-1) - 1 + 2)*x - (-1)^3 - (-1)^2 + 2*(-1)*1 - 2*(-1) + 1) + (((-1)^4 + (-1)^3 + (1 - 3*1)*(-1)^2 - 2*1 + ((-1) - 1)^2)*x + (1*(-1)^3 + 1*(-1)^2 - 2*(-1)*1^2 + 2*(-1)*1 - 1^2 + 1)) =

= (x^2 - x + 1)*(x^3 + x + 1) + ((0)*x + (0) =

= (x^2 - x + 1)*(x^3 + x + 1)

NB: L'assenza di zeri razionali implica che fattorizzare (x^3 + x + 1) richiede necessariamente le formule di Tartaglia-Cardano che trovi nell'articolo al link http://utenti.quipo.it/base5/numeri/equasolutore.h...

Lo sai che Y!A ti dà 3 punti se scegli una "Miglior risposta"? Se puoi, scegli questa!

v. http://www.yanswersblogit.com/b4/2010/01/08/evita-...

con ruffini - quì è troppo lungo e complicato da svolgere - comunque può essere per te anche motivo di allenamento provare

(x^2-x+1)(x^3+x+1)

-

(1+(-1+x) x) (1+x+x^3)