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domanda di probabilità?esercizio sul lancio del dado regolare?
Potreste mandarmi la risoluzione di questo esercizio di probabilità?
E1) Un dado non truccato(regolare) è lanciato un numero aleatorio N di volte. Assumiamo cheP(N = i) = 2^(−i ), i ≥ 1. Indicando con S la somma dei punteggi ottenuti, calcolare la probabilità che: a) N = 2 dato che S = 4;b) S = 4 dato che N è pari;c) N = 2 sapendo che S = 4 e il primo lancio dà 1
2 Answers
- Anonymous11 months ago
a)
Pr [ N = 2 | S = 4 ] = Pr [ S = 4 | N = 2 ] * Pr [ N = 2 ] / Pr [ S = 4 ] =
= Pr [ (1,3) V (2,2) V (3,1) ] * 1/(2^2) : Pr [ S = 4 ] =
= 3/36 * 1/4 : Pr [ S = 4 ] = 1/48 : Pr [ S = 4 ]
e qui Pr [ S = 4 ] = Somma_k:1->4 Pr [ S = 4 | N = k ] * Pr [ N = k ] =
= Pr [ (4) ] * 1/2 + Pr [ (1,3) (2,2) (3,1) ] * 1/2^2 +
+ Pr [ (1,2,1) (2,1,1) ( 1,1,2 ) ] * 1/2^3 + Pr [ (1,1,1,1) ] * 1/(2^4) =
= 1/6 * 1/2 + 1/12 * 1/4 + 3/216 * 1/8 + 1/1296 * 1/16 =
= 1/12 + 1/48 + 1/(72*8) + 1/(1296 * 16) =
= 1/12 + 1/48 + 1/576 + 1/20736 =
= (216*8 + 432 + 36 + 1)/20736 =
= 2197/20736
e quindi Pr [Ea] = 1/48 * 20736/2197 = 432/2197 = 19.66 %
b)
Pr [ S = 4 | N pari ] = Pr [ S = 4 & N pari ] / Pr [ N pari ] =
= Pr [ S = 4 & ( N = 2 V N = 4 ) ] / Pr [ N pari ] =
perchè non ci sono altre possibilità di avere S = 4 ; si tratta di eventi incompatibili
per cui si può separare in somma
= ( Pr [ S = 4 & N = 2 ] + Pr [ S = 4 & N = 4 ] )/ Pr [ N pari ] =
= ( Pr [ S = 4 | N = 2 ]*Pr [ N = 2 ]+Pr [ S = 4 | N = 4 ] *Pr [ N = 4 ] )/ Pr [ N pari ] =
= Pr [(1,3)(2,2)(3,1)] * 1/4 + Pr [(1,1,1,1)] * 1/16 =
= 1/12 * 1/4 + 1/1296 * 1/16 = 1/48 + 1/20736 = (432 + 1)/20736 = 433/20736
al denominatore
Pr [ N pari ] = 1/2^2 + 1/2^4 + 1/2^6 + 1/2^8 + ... =
= 1/4 ( 1 + 1/4 + 1/4^2 + .... ) =
= 1/4 * 1/(1 - 1/4) =
= 1/4 : 3/4 =
= 1/4 * 4/3 = 1/3
e così Pr [ Eb ] = 433/20736 : 1/3 = 433/6912 = 6.26 %.
c)
Pr [ N = 2 | ( S = 4 & X1 = 1 ) ] =
= Pr [ N = 2 & ( S = 4 & X1 = 1 ) ] : Pr [ S = 4 & X1 = 1 ]
e qui ci sono 4 casi
N = 2 => (1,3) ; probabilità : 1/36 * 1/2^2 = 1/144
N = 3 => (1, 1, 2) V ( 1, 2, 1) ; probabilità : 2/216 * 1/2^3 = 2/1728 = 1/864
N = 4 => (1, 1, 1, 1) ; probabilità : 1/1296 * 1/16 = 1/20736
e dunque, in via intuitiva,
Pr [Ec] = 1/144 : ( 1/144 + 1/864 + 1/20736 ) = 144/(144 + 24 + 1) = 144/169 =
= 85.2 %.
Spero che non ci siano errori.
