domanda di probabilità?

mi sapresti mandare la ris di questo es di probabilità?

Due urne U1 e U2 contengono, rispettivamente, 3 palline bianche e 3 nere la prima,

k palline bianche e k palline nere la seconda; si lancia un dado, se esce pari si fanno n estrazioni con ripetizione da U1, calcolare la probabilità di estrarre esattamente una 

pallina bianca; se il risultato del dado `e dispari si estraggono 2 palline senza ripetizione da U2, calcolare la probabilità che siano entrambe bianche. Trovare i limiti delle due probabilità ottenute, rispettivamente, per n, k → ∞.

a)  Si applica la formula della Probabilità Totale :

Pr [ A > B ] = S_k:1->n+1    Pr [ A > B | B = k ] * Pr [ B = k ] =

= S_k:1->n Pr [ A > k ] * 1/(n+1) =  1/(n+1) S_k:1->n  [ (n - k)/n ] =

la somma può essere portata fino a n, l'ultimo termine è nullo perchè A non può

superare n e quindi non può superare n + 1

= 1/[n(n+1)] * [ n*n - S_k:1->n  k ] =

= (n^2 - n*(n+1)/2 )/( n(n+1)) =

= (2n^2 - n^2 - n)/(2n (n+1)) =

= (n^2 - n)/(2n (n+1)) =

= n/n * (n-1)/(2(n+1)) =

= (n-1)/(2n+2)

Gli altri due ormai dovresti saperli fare.

Comunque svolgo l'ultimo in modo che puoi ricavare il secondo per differenza

c)

Pr [ A = B ] = S_k:1->n   Pr [ A = B | B = k ] * Pr [ B = k ] =

= S_k:1->n  Pr [ A = k ] * 1/(n+1) =

= n * 1/n * 1/(n+1) = 1/(n + 1)     [] qui un segno è sbagliato []

b)   Pr [ A < B ] =   1 -  (n-1)/(2(n+1)) - 1/(n + 1) =

= [ 2n + 2 - n + 1 - 2 ]/(2(n+1)) =

= (n + 1)/(2(n + 1)) = 1/2