Domanda di probabilità? ?

Non posso prendere l'impegno di svolgerlo tutto - come esame di Statistica è altamente strutturato.

Per adesso procedo con il primo quesito, che è relativamente semplice, e poi cercherò di capire se la parte restante è alla mia portata.

Per la famiglia di distribuzioni assegnata e con riferimento ad un campione casuale di dimensione n, la funzione di verosimiglianza è

L(x1, ..., xn )   =   (teta)^n * TT_i:1->n   (1 - xi )^(teta - 1)

e ricordando che il logaritmo naturale è una funzione strettamente crescente

si opera ricercando il massimo  di ln L

G = ln L =  n ln (teta) + (teta - 1) S_i:1->n   ln (1 - xi )

avendo applicato due note proprietà dei logaritmi

Così    G'(teta) = n/teta + S_i:1->n   ln (1 - xi ) >= 0

n/teta + Y >= 0       con Y negativo perchè somma di addendi negativi

n/teta >= - Y

teta/n <= - 1/Y

teta <= - n/ S_i:1->n   ln (1 - xi )

Il valore sulla destra individua il termine dell'intervallo di crescenza e quindi,

a norma delle posizioni fatte, la desiderata stima di MV.

Per il quesito 2 immagino si debba confrontare il rapporto delle verosimiglianze con una soglia K.

Svolgo questa parte del problema supponendo che la costante k che originariamente è coinvolta nel Lemma di Neyman - Pearson

https://it.wikipedia.org/wiki/Lemma_fondamentale_d...

sia minore di 1.

L (X, teta0)/L(X, teta1) <= k

definisce, per Ho, la regione di rifiuto.

Sostituendo al posto di L la sua espressione già discussa

teta0 ^ n TT_i:1->n (1 - xi)^(teta0 - 1) / [teta1 ^ n TT_i:1->n (1 - xi)^(teta1 - 1)] <= k

e questa disuguaglianza equivale a

TT_i:1->n   (1 - xi)^(teta0 - teta1) <= k teta1 ^n / teta0 ^n

passando ai logaritmi naturali

(teta0 - teta1) S_i:1->n  (1 - xi) <= ln k + n ln (teta1 / teta0) < n ln (teta1/teta0 )

perchè, essendo k < 1, ln k è negativo.

L'ultima disuguaglianza può essere riscritta come

- n ln (teta1/teta0) <= (teta1 - teta0) S_i:1->n  (1 - xi)

e, ricordando che risulta S_i:1->n  (1 - xi) < 0 e ln (teta1/teta0) > 0

- n/S_i:1->n  (1 - xi) >= (teta1 - teta0)/ln(teta1/teta0)

teta*(MLE) >= K

Questa, ricordiamo, è la regione di RIFIUTO.

La regione di accettazione è quindi la complementare

teta*(MLE) <= K